必要ありません。
病院から送られてくる「診療報酬明細書（レセプト）」をもとに計算し、高額療養費の支給対象となった方にはお勤め先の事業所へ自動的に振り込まれます（任意継続被保険者の方はご自身の口座への振込となります）。

なお、マイナ保険証を利用すれば、限度額情報の提供に同意することで高額療養費制度における限度額を超える支払いが免除されます。